Question

18．正四棱錐S-ABCD的側棱長與底面邊長相等，E為SC的中點，則BE與SA所成角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 建立空間直角坐標系，利用cos$＜\overrightarrow{AS}，\overrightarrow{BE}＞$=$\frac{\overrightarrow{AS}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AS}||\overrightarrow{BE}|}$，即可得出．

解答 解：如圖所示建立空間直角坐標系，
不妨OA=1，則A（1，0，0），S（0，0，1），B（0，1，0），C（0，-1，0），
E$（-\frac{1}{2}，0，\frac{1}{2}）$．
$\overrightarrow{AS}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{BE}$=$（-\frac{1}{2}，-1，\frac{1}{2}）$．
∴cos$＜\overrightarrow{AS}，\overrightarrow{BE}＞$=$\frac{\overrightarrow{AS}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AS}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴BE與SA所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選；C．

點評 本題考查了利用向量夾角公式求異面直線所成的角，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．