Question

13．函數(shù)f（x）=x1nx-ax²-x（a∈R）．
（I）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（II）若函數(shù)f（x）的圖象在直線y=-x圖象的下方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用f′（1）=0得到a，并利用極值的充分條件進行檢驗即可；
（II）由題意可得：xlnx-ax²-x＜-x，由x＞0，可化為a＞$\frac{lnx}{x}$，設(shè)h（x）=$\frac{lnx}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)即可得到極值及其最值；

解答 解：（I）f′（x）=lnx-2ax，（x＞0）．
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴f′（1）=0，即0-2a=0，解得a=0．
∴f′（x）=lnx，
當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在x=1時取得極小值．
（II）由題意可得：xlnx-ax²-x＜-x，
∴xlnx-ax²＜0，
∵x＞0，∴a＞$\frac{lnx}{x}$．
設(shè)h（x）=$\frac{lnx}{x}$，則h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得0＜x＜e，∴h（x）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞增；
令h′（x）＜0，解得e＜x，∴h（x）在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴h（x）在x=e時取得極大值，即最大值，h（e）=$\frac{1}{e}$．
∴a＞$\frac{1}{e}$．

點評 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、把問題等價轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．