Question

1．已知數列{a_n}的前n項和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₃（1-S_n）（n∈N^*），求適合方程$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{25}{51}$的n的值．．

Answer 1

分析 （1）由已知中數列{a_n}的前n項和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1（n∈N^*）．利用S_n法，可得數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₃（1-S_n）=n，結合裂項相消法，構造關于n的方程，解得答案．

解答 解：（1）∵數列{a_n}的前n項和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1（n∈N^*）．
∴n=1時，S₁+$\frac{1}{2}$a₁=$\frac{3}{2}$a₁=1，
解得：a₁=$\frac{2}{3}$，
當n≥2時，S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n-1=1，
兩式相減得：$\frac{3}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n-1=0，即a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1，
∴a_n=$\frac{2}{{3}^{n}}$；
（2）S_n=$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$=$1-（\frac{1}{3}）^{n}$，
b_n=log₃（1-S_n）=-n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{4}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{25}{51}$，
解得：n=101

點評 本題考查的知識點是求數列的通項公式，數列求和，對數的運算，難度中檔．