Question

8．將函數f（x）=sin（2x+φ）+$\sqrt{3}$cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位后，得到的函數的圖象關于點$（\frac{π}{2}，0）$對稱，則函數$g（x）=\frac{1}{2}sin（2x+φ）$在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$上的最小值為（　　）

• A． $-\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換化簡函數的解析式為f（x）=2sin（2x+φ+$\frac{π}{3}$），根據函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律及余弦函數的性質可解得φ的值，求得函數g（x）的解析式為g（x）=cos（x+$\frac{π}{6}$），利用余弦函數值域求得函數g（x）的最值．

解答 解：∵f（x）=sin（2x+φ）+$\sqrt{3}$cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+$\frac{π}{3}$），
∴將函數f（x）圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位后，得到函數解析式為：
y=2sin[2（x+$\frac{π}{4}$）+φ+$\frac{π}{3}$]=2cos（2x+φ+$\frac{π}{3}$）．
∵函數的圖象關于點（$\frac{π}{2}$，0）對稱，
∴對稱中心在函數圖象上，可得：2cos（2×$\frac{π}{2}$+φ+$\frac{π}{3}$）=2cos（π+φ+$\frac{π}{3}$）=0，
故有 φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{π}{6}$，則函數$g（x）=\frac{1}{2}sin（2x+φ）$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵在$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，則g（x）  在 $[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$ 上，當2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$時，g（x）取得最小值是-$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，余弦函數的單調性、定義域、值域，屬于中檔題．