Question

13．已知函數f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）．
（1）當a=-1，b=3時，求函數f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值和最小值；
（2）設a＞0，且對于任意的x＞0，f（x）≥f（1），試比較lna與-2b的大小．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最大值和最小值即可；
（2）化簡出a，b的關系，再要研究的結論比較lna與-2b的大小構造函數g（x）=2-4x+lnx，利用函數的最值建立不等式即可比較大�。�

解答 解：（1）當a=-1，b=3時，f（x）=-x²+3x-lnx，且x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
f′（x）=-2x+3-$\frac{1}{x}$=-$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
由f′（x）＞0，得$\frac{1}{2}$＜x＜1；由f′（x）＜0，得1＜x＜2，
所以函數f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上單調遞增；
函數f（x）在（1，2）上單調遞減，
所以函數f（x）在區間[$\frac{1}{2}$，2]僅有極大值點x=1，故這個極大值點也是最大值點，
故函數在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值是f（1）=2，
又f（2）-f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$=ln4＜0，
故f（2）＜f（$\frac{1}{2}$），故函數在[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值為f（2）=2-ln2；
（2）由f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）
知f′（x）=2ax+b-$\frac{1}{x}$，
當a＞0時，令f′（x）=0，得2ax²+bx-1=0
由于△=b²+8a＞0，故有
x₂=$\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$，x₁=$\frac{-b-\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$顯然有x₁＜0，x₂＞0，
故在區間（0，$\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$）上，導數小于0，函數是減函數；
在區間（ $\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$，+∞）上，導數大于0，函數是增函數
由題意，函數f（x）在x=1處取到最小值，
故$\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$是函數的唯一極小值點，
故$\frac{-b+\sqrt{^{2}+8a}}{4a}$=1
整理得2a+b=1，即b=1-2a
令g（x）=2-4x+lnx，則g′（x）=$\frac{1-4x}{x}$，
令g′（x）=0得x=$\frac{1}{4}$，
當0＜x＜$\frac{1}{4}$時，g′（x）＞0，函數單調遞增；
當$\frac{1}{4}$＜x＜+∞時，g′（x）＜0，函數單調遞減
因為g（x）≤g（$\frac{1}{4}$）=1-ln4＜0
故g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜-2b．

點評 本題是函數與導數綜合運用題，解題的關鍵是熟練利用導數工具研究函數的單調性及根據所比較的兩個量的形式構造新函數利用最值建立不等式比較大小，本題考查了創新探究能力及轉化化歸的思想，本題綜合性較強，所使用的方法具有典型性，題后應做好總結以備所用的方法在此類題的求解過程中使用．