Question

19．已知向量$\vec a$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-cosx）．
（1）若$\vec b⊥（\vec a-\vec b）$，且cosx≠0，求$sin2x+sin（\frac{5}{2}π+2x）$的值；
（2）若$f（x）=\vec a•\vec b$，求f（x）在[-$\frac{π}{4}$，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據向量垂直的關系轉化為向量數量積問題，結合三角函數的誘導公式進行化簡即可，
（2）求出向量數量積的表達式，結合三角函數的性質進行求解．

解答 解：（1）∵$\vec b⊥（\vec a-\vec b）$，
∴$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{b}$²=0，
即sinxcosx-cos²x-2cos²x=0，
即sinxcosx-3cos²x=0，
∵cosx≠0，
∴sinx-3cosx=0，則tanx=3，
則$sin2x+sin（\frac{5}{2}π+2x）$=sin2x+cos2x=$\frac{2sinxcosx+cos^2x-sin^2x}{sin^2x+cos^2x}$=$\frac{2tanx+1-tan^2x}{1+tan^2x}$=$\frac{6+1-9}{1+9}$=-$\frac{1}{5}$．
（2）$f（x）=\vec a•\vec b$=sinxcosx-cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，0]，∴2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{π}{4}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
則f（x）∈[-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1]，
即f（x）在[-$\frac{π}{4}$，0]上的最大值為-1，最小值為-$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查平面向量與三角函數的綜合問題，根據向量垂直于向量數量積的關系，結合三角函數的有關公式是解決本題的關鍵．考查學生的運算和轉化能力．