Question

10．在10與100之間插入n個數，使著n+2個數構成一個遞增的等比數列，設n+2個數之積T_n，a_n=lgT_n，則{a_n}前n項之和為$\frac{3{n}^{2}+15n}{4}$．

Answer 1

分析 設t₁，t₂，…，t_n+2構成等比數列，其中t₁=10，t_n+2=100，由t_i×t_n+3-i=${t}_{1}×{t}_{n+2}=10×100=1000=1{0}^{3}$（1≤i≤n+2），得到${T}_{n}=1{0}^{\frac{3（n+2）}{2}}$，從而a_n=lgT_n=$\frac{3}{2}（n+2）$=$\frac{3}{2}n+3$，由此能求出{a_n}前n項之和．

解答 解：設t₁，t₂，…，t_n+2構成等比數列，其中t₁=10，t_n+2=100，
∴t_i×t_n+3-i=${t}_{1}×{t}_{n+2}=10×100=1000=1{0}^{3}$（1≤i≤n+2），
∵T_n=t₁×t₂×…×t_n+1×t_n+2，①
T_n=t_n+2×t_n+1×…×t₂×t₁，②
∴①×②得：${{T}_{n}}^{2}$=（t₁t_n+2）×（t₂t_n+1）×…×（t_n+1t₂）×（t_n+2t₁）=10^3（n+2），
∴${T}_{n}=1{0}^{\frac{3（n+2）}{2}}$，
∴a_n=lgT_n=$\frac{3}{2}（n+2）$=$\frac{3}{2}n+3$，
∴{a_n}前n項之和為：
S_n=$\frac{3}{2}（1+2+3+…+n）+3n$
=$\frac{3}{2}×\frac{n（n+1）}{2}+3n$
=$\frac{3{n}^{2}+15n}{4}$．
故答案為：$\frac{3{n}^{2}+15n}{4}$．

點評 本題考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數列和等差數列的性質的合理運用．