Question

14．在遞增等差數列{a_n}中，a₄=2，且a₂，a₄，a₈成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）從數列{a_n}中依次取出${a_1}，{a_2}，{a_4}，{a_8}，…，{a_{{2^{n-1}}}}，…$，構成一個新的數列{b_n}，令c_n=n•b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞增等差數列通項公式和等比數列性質，列出方程組，求出首項和公差，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）求出b_n=${a}_{{2}^{n-1}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{2}$=2^n-2=$\frac{{2}^{n}}{4}$，從而c_n=n•b_n=$\frac{n}{4}•{2}^{n}$，由此利用錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）∵在遞增等差數列{a_n}中，a₄=2，且a₂，a₄，a₈成等比數列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=2}\\{{2}^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+7d）}\\{d＞0}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=\frac{1}{2}，d=\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$．
（2）∵從數列{a_n}中依次取出${a_1}，{a_2}，{a_4}，{a_8}，…，{a_{{2^{n-1}}}}，…$，構成一個新的數列{b_n}，
∴b_n=${a}_{{2}^{n-1}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{2}$=2^n-2=$\frac{{2}^{n}}{4}$，
∴c_n=n•b_n=$\frac{n}{4}•{2}^{n}$，
∴數列{c_n}的前n項和：
T_n=$\frac{1}{4}×2+\frac{2}{4}×{2}^{2}+\frac{3}{4}×{2}^{3}+…+\frac{n}{4}×{2}^{n}$，①
2T_n=$\frac{1}{4}×{2}^{2}+\frac{2}{4}×{2}^{3}+\frac{3}{4}×{2}^{4}+…+\frac{n}{4}×{2}^{n+1}$，②
①-②，得：-T_n=$\frac{1}{4}$（2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）-$\frac{n}{4}×{2}^{n+1}$
=$\frac{1}{4}×\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-\frac{n}{4}×{2}^{n+1}$
=$\frac{{2}^{n}-n×{2}^{n}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
∴T_n=$\frac{n-1}{2}×{2}^{n}$+$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了等差數列和等比數列的求和的運用，屬于中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．