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14.在遞增等差數列{an}中,a4=2,且a2,a4,a8成等比數列.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)從數列{an}中依次取出${a_1},{a_2},{a_4},{a_8},…,{a_{{2^{n-1}}}},…$,構成一個新的數列{bn},令cn=n•bn,求數列{cn}的前n項和Tn

分析 (1)利用遞增等差數列通項公式和等比數列性質,列出方程組,求出首項和公差,由此能求出數列{an}的通項公式.
(2)求出bn=${a}_{{2}^{n-1}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{2}$=2n-2=$\frac{{2}^{n}}{4}$,從而cn=n•bn=$\frac{n}{4}•{2}^{n}$,由此利用錯位相減法能求出數列{cn}的前n項和Tn

解答 解:(1)∵在遞增等差數列{an}中,a4=2,且a2,a4,a8成等比數列,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=2}\\{{2}^{2}=({a}_{1}+d)({a}_{1}+7d)}\\{d>0}\end{array}\right.$,
解得${a}_{1}=\frac{1}{2},d=\frac{1}{2}$,
∴an=$\frac{1}{2}+(n-1)×\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$.
(2)∵從數列{an}中依次取出${a_1},{a_2},{a_4},{a_8},…,{a_{{2^{n-1}}}},…$,構成一個新的數列{bn},
∴bn=${a}_{{2}^{n-1}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{2}$=2n-2=$\frac{{2}^{n}}{4}$,
∴cn=n•bn=$\frac{n}{4}•{2}^{n}$,
∴數列{cn}的前n項和:
Tn=$\frac{1}{4}×2+\frac{2}{4}×{2}^{2}+\frac{3}{4}×{2}^{3}+…+\frac{n}{4}×{2}^{n}$,①
2Tn=$\frac{1}{4}×{2}^{2}+\frac{2}{4}×{2}^{3}+\frac{3}{4}×{2}^{4}+…+\frac{n}{4}×{2}^{n+1}$,②
①-②,得:-Tn=$\frac{1}{4}$(2+22+23+24+…+2n)-$\frac{n}{4}×{2}^{n+1}$
=$\frac{1}{4}×\frac{2(1-{2}^{n})}{1-2}-\frac{n}{4}×{2}^{n+1}$
=$\frac{{2}^{n}-n×{2}^{n}}{2}$-$\frac{1}{2}$,
∴Tn=$\frac{n-1}{2}×{2}^{n}$+$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查了等差數列和等比數列的求和的運用,屬于中檔題,解題時要認真審題,注意錯位相減法的合理運用.

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