Question

3．在△ABC中，設AB=6，BC=7，AC=4，O為△ABC的內心，若$\overrightarrow{AO}$=p$\overrightarrow{AB}$+q$\overrightarrow{AC}$，則$\frac{p}{q}$等于（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據三角形內心的性質a$\overrightarrow{OA}$+b$\overrightarrow{OB}$+c$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，利用向量的加減運算，寫出向量與要求兩個向量之間的關系，得到兩個系數的值，即可得到結果．

解答 解：△ABC中，AB=6，BC=7，AC=4，O為△ABC的內心，
∴7$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+6$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴7$\overrightarrow{OA}$+4（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$）+6（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\overrightarrow{0}$，
解得$\overrightarrow{OA}$=-$\frac{4}{17}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{6}{17}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{4}{17}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{6}{17}$$\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AO}$=p$\overrightarrow{AB}$+q$\overrightarrow{AC}$，
∴p=$\frac{4}{17}$，q=$\frac{6}{17}$，
∴$\frac{p}{q}$=$\frac{2}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了三角形內角平分線的性質與向量的加減運算問題，是中檔題目．