Question

13．已知a是函數$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^x}+{log_{\frac{1}{3}}}x$的零點，若0＜x₀＜a，則f（x₀）的值滿足（　　）

• A． f（x₀）=0
• B． f（x₀）＜0
• C． f（x₀）＞0
• D． f（x₀）的符號不確定

Answer 1

分析 根據題意，a是函數$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^x}+{log_{\frac{1}{3}}}x$的零點，函數$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^x}+{log_{\frac{1}{3}}}x$是減函數，本題根據函數的單調性和零點的性質進行求解．

解答 解：∵函數$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^x}+{log_{\frac{1}{3}}}x$在（0，+∞）上是減函數，
a是函數$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^x}+{log_{\frac{1}{3}}}x$的零點，即f（a）=0，
∴當0＜x₀＜a時，f（x₀）＞0，
故選：C．

點評 本題主要考查了函數零點的判定定理，函數$f（x）={（{\frac{1}{3}}）^x}+{log_{\frac{1}{3}}}x$是減函數，單調函數最多只有一個零點，是解題的關鍵．