Question

4．在平面直角坐標系xOy中，橢圓W：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂．O為坐標原點，橢圓過點M（0，1），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，直線y=kx+m（m≠0）與橢圓交于A，C兩點，B為橢圓上一點．
（1）求橢圓標準方程．
（2）用反證法證明：當點B不是W的頂點時，四邊形OABC是不可能為菱形．

Answer 1

分析 （1）根據已知，構造關于a，b，c的方程組，解得橢圓標準方程．
（2）假設四邊形OABC為菱形．根據已知得到矛盾，可得四邊形OABC是不可能為菱形．

解答 解：（1）∵橢圓過點M（0，1），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}\\{b}^{2}=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2}=4\\{b}^{2}=1\\{c}^{2}=3\end{array}\right.$
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1                                    （4分）
證明：（2）假設四邊形OABC為菱形．
因為點B不是W的頂點，四邊形OABC為菱形所以AC⊥OB，m≠0
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$消y并整理得
（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．（6分）
設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則
$\frac{x1+x2}{2}$=-$\frac{4km}{1+4k2}$，
$\frac{y1+y2}{2}$=k•$\frac{x1+x2}{2}$+m=$\frac{m}{1+4k2}$．
所以AC的中點為M（-$\frac{4km}{1+4k2}$，$\frac{m}{1+4k2}$）．（8分）
因為M為AC和OB的交點，且m≠0，k≠0，
所以直線OB的斜率為-$\frac{1}{4k}$．（11分）
因為k•（-$\frac{1}{4k}$）≠-1，所以AC與OB不垂直．
所以四邊形OABC不是菱形，與假設矛盾．              （11分）
所以當點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能為菱形．（12分）

點評 本題考查的知識點是橢圓的標準方程和橢圓的簡單性質，難度中檔．