Question

16．已知四面體ABCD的每個頂點都在球O的表面上，AB=AC=5，BC=8，AD⊥底面ABC，G為△ABC的重心，且直線DG與底面ABC所成角的正切值為$\frac{1}{2}$，則球O的表面積為$\frac{634π}{9}$．

Answer 1

分析 求出△ABC外接圓的直徑，利用勾股定理求出球O的半徑，即可求出球O的表面積．

解答 解：由題意，AG=2，AD=1，
cos∠BAC=$\frac{25+25-64}{2×5×5}$=-$\frac{7}{25}$，∴sin∠BAC=$\frac{24}{25}$，
∴△ABC外接圓的直徑為2r=$\frac{8}{\frac{24}{25}}$=$\frac{25}{3}$，
設球O的半徑為R，∴R=$\sqrt{\frac{625}{36}+\frac{1}{4}}$=$\sqrt{\frac{634}{36}}$
∴球O的表面積為$\frac{634π}{9}$，
故答案為$\frac{634π}{9}$．

點評 本題考查球O的表面積，考查余弦定理、正弦定理的運用，屬于中檔題．