Question

8．已知函數f（x）=ax³+x．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=1處取得極值，求實數a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，函數g（x）=f′（x）（x²+px+q） （其中f′（x）為函數f（x）的導數）的圖象關于直線x=1對稱，求函數g（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據f′（1）=0，求出a的值，檢驗即可；
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，求出函數g（x）的導數，得到函數的單調區間，從而求出g（x）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ） 由f（x）=ax³+x有f'（x）=3ax²+1
因為f（x）在x=1處取得極值，故f'（1）=3a+1=0
∴$a=-\frac{1}{3}$
經檢驗：當$a=-\frac{1}{3}$時，符合題意，故$a=-\frac{1}{3}$
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g（x）=（-x²+1）（x²+px+q）
∵g（x）的圖象關于直線x=-1對稱，故函數g（x-1）為偶函數
又g（x-1）=[-（x-1）²+1][（x-1）²+p（x-1）+q]=-x⁴+（4-p）x³+（3p-q-5）x²+2（1-p+q）x
∴$\left\{\begin{array}{l}4-p=0\\ 2（{1-p+q}）=0\end{array}\right.$，解得p=4，q=3
∴g（x）=（-x²+1）（x²+4x+3）
∴g'（x）=-2x（x²+4x+3）+（-x²+1）（2x+4）=-4（x+1）（x²+2x-1）
令g'（x）＞0有$x＜-1-\sqrt{2}$或$-1＜x＜-1+\sqrt{2}$
令g'（x）＜0有$-1-\sqrt{2}＜x＜-1$或$x＞-1+\sqrt{2}$
∴函數g（x）在區間$（{-∞，-1-\sqrt{2}}），（{-1，-1+\sqrt{2}}）$上單調遞增，
在區間$（{-1-\sqrt{2}，-1}），（{-1+\sqrt{2}，+∞}）$上單調遞減
∴函數g（x）的最大值為$g（{-1±\sqrt{2}}）=4$

點評 本題考查了函數的單調性、極值、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．