Question

17．已知偶函數f（x）在[0，+∞）單調遞減，f（2）=0．若x•f（x-1）＞0，則x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，3）．

Answer 1

分析 根據函數奇偶性和單調性之間的關系將不等式等價轉化為x＞0時f（x-1）＞f（2），x＜0時，f（x-1）＜f（-2），即可得到結論．

解答 解：∵偶函數f（x）在[0，+∞）單調遞減，f（2）=0，
∴f（x）在（-∞，0）遞增，f（-2）=0；
∴x＞0時，不等式xf（x-1）＞0等價為f（x-1）＞f（2），
即x-1＜2，解得：0＜x＜3；
x＜0時：不等式xf（x-1）＞0等價為f（x-1）＜f（-2），
即x-1＜-2，解得：x＜-1，
故答案為：（-∞，-1）∪（0，3）．

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性之間的關系的應用，將不等式等價轉化為f（x-1）＞f（2）或f（x-1）＜f（-2）是解決本題的關鍵．