Question

9．已知函數f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）的單調遞增區間．
（3）求當x為何值時，函數取最大值，并求最大值．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角和輔助角公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求ω的值；
（2）將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；
（3）結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最大值，即可求x的值．

解答 解：函數f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）
化簡可得：f（x）=sin2ωx+cos2ωx=$\sqrt{2}$sin（2ωx$+\frac{π}{4}$）
（1）最小正周期為π，即$\frac{2π}{2ω}=π$，解得：ω=1．
（2）由（1）得，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$）
令 $2kπ-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{4}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，（k∈Z）．
解得：$kπ-\frac{3π}{8}$≤x≤$kπ+\frac{π}{8}$，
∴f（x）的單調遞增區間為[$kπ-\frac{3π}{8}$，$kπ+\frac{π}{8}$]（k∈Z）．
（3）∵sin（2ωx$+\frac{π}{4}$）∈[-1，1]，
∴f（x）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
當f（x）的取值最大值$\sqrt{2}$時，即$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，
此時$2x+\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z），
解得：$x=kπ+\frac{π}{8}$，（k∈Z），
∴當$x=kπ+\frac{π}{8}$，（k∈Z）時函數取最大值為$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．