Question

7．已知函數f（x）=ax²-$\frac{4}{x}$，其中a為常數
（1）根據a的不同值，判斷函數f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若a∈（-2，-1），判斷函數f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上的單調性，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）分類討論，利用奇偶函數定義判斷．
（2）求解導數f′（x）=2ax$+\frac{4}{{X}^{2}}$=$\frac{2a{x}^{3}+4}{{x}^{2}}$，討論得出當f′（x）≥0時，x≤$\root{3}{-\frac{2}{a}}$，當f′（x）≤0時，x≥$\root{3}{-\frac{2}{a}}$，根據a∈（-2，-1），判斷$-\frac{2}{a}$∈（1，2），得出導數的符號即可．

解答 解：（1）函數f（x）=ax²-$\frac{4}{x}$，其中a為常數，
①當a=0時，f（x）=-$\frac{4}{x}$是奇函數，
∵f（-x）=-$\frac{4}{-x}$=$\frac{4}{x}$=-f（-x）
∴當a=0時，f（x）=-$\frac{4}{x}$是奇函數，
②∵當a≠0時，f（x）=-$\frac{4}{x}$是非奇非偶函數，
f（-x）≠-f（-x），f（-x）≠f（-x）
∴當a≠0時，f（x）=-$\frac{4}{x}$是非奇非偶函數，
（2）∵函數f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上的單調性，
∴f′（x）=2ax$+\frac{4}{{X}^{2}}$=$\frac{2a{x}^{3}+4}{{x}^{2}}$，
當f′（x）≥0時，x≤$\root{3}{-\frac{2}{a}}$，當f′（x）≤0時，x≥$\root{3}{-\frac{2}{a}}$，
∵a∈（-2，-1），∴$-\frac{2}{a}$∈（1，2），
∴$\root{3}{-\frac{2}{a}}$＞1，
在（$\frac{1}{2}$，1）上f′（x）＞0，
∴函數f（x）在（$\frac{1}{2}$，1）上的單調遞增函數．

點評 本題綜合考查了函數性質，導數在解決函數綜合問題中的運用，屬于中檔題，關鍵單調與導數的關系．