Question

16．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線$\sqrt{3}$x+y=0的對稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． $\sqrt{5}$-2
• D． $\sqrt{6}$-2

Answer 1

分析 求出F（-c，0）關(guān)于直線 $\sqrt{3}$x+y=0的對稱點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入橢圓方程可得離心率．

解答 解：設(shè)F（-c，0）關(guān)于直線$\sqrt{3}$x+y=0的對稱點(diǎn)A（m，n），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+c}•（-\sqrt{3}）=-1}\\{\sqrt{3}•\frac{m-c}{2}+\frac{n}{2}=0}\end{array}\right.$，
∴m=$\frac{c}{2}$，n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
代入橢圓方程可得$\frac{\frac{{c}^{2}}{4}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{3}{4}{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，a²=b²+c²，
化簡可得e⁴-8e²+4=0，
∴e=$\sqrt{3}$-1，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查對稱知識以及計(jì)算能力．