Question

7．經測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量y（升）與速度x（千米/每小時） （50≤x≤120）的關系可近似表示為：$y=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{75}（{{x^2}-130x+4900}），x∈[{50，80}）\\ 12-\frac{x}{60}，x∈[{80，120}]\end{array}\right.$
（Ⅰ）該型號汽車速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？
（Ⅱ）已知A，B兩地相距120公里，假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，求出函數的最小值，比較可得結論；
（Ⅱ）分類討論，利用基本不等式、函數的單調性，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ） 當x∈[50，80）時，$y=\frac{1}{75}（{{x^2}-130x+4900}）=\frac{1}{75}[{{{（{x-65}）}^2}+675}]$，
x=65，y有最小值$\frac{1}{75}×675=9$
當x∈[80，120]，函數單調遞減，故當x=120時，y有最小值10
因9＜10，故x=65時每小時耗油量最低
（Ⅱ）設總耗油量為l由題意可知$l=y•\frac{120}{x}$：
①當x∈[50，80）時，$l=y•\frac{120}{x}=\frac{8}{5}（{x+\frac{4900}{x}-130}）≥\frac{8}{5}（{2\sqrt{x×\frac{4900}{x}}-130}）=16$
當且僅當$x=\frac{4900}{x}$，即x=70時，l取得最小值16
②當x∈[80，120]時，$l=y•\frac{120}{x}=\frac{1440}{x}-2$為減函數
當x=120，l取得最小值10
∵10＜16，所以當速度為120時，總耗油量最少．

點評 本題主要考查函數最值的應用，考查函數模型的建立，考查函數的單調性，利用基本不等式是解決本題的關鍵．