Question

17．設x＞0，則$x\sqrt{1-4{x^2}}$得最大值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由x＞0，令y=$x\sqrt{1-4{x^2}}$≥0，可得：y²=x²（1-4x²）=$\frac{1}{4}$×4x²（1-4x²），再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：由x＞0，令y=$x\sqrt{1-4{x^2}}$≥0，
可得：y²=x²（1-4x²）=$\frac{1}{4}$×4x²（1-4x²）≤$\frac{1}{4}$$（\frac{4{x}^{2}+1-4{x}^{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{16}$，∴$y≤\frac{1}{4}$．
當且僅當x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$時取等號，
∴$x\sqrt{1-4{x^2}}$的最大值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了函數的性質、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．