Question

10．已知下列命題：
①在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC一定是等腰三角形；
②已知α是銳角，且$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，則$sinα=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$；
③將函數$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$圖象上的所有點向左平移$\frac{π}{12}$個單位，則得到的函數圖象關于y對稱；
④若$sinx=-\frac{4}{5}$，$x∈（-\frac{π}{2}，0）$，則$tan2x=\frac{24}{7}$．
其中所有正確命題的序號是②③④．

Answer 1

分析 由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，從而判斷三角形的形狀判斷①；利用“拆角配角”思想求值判斷②；由函數圖象的平移求出平移后的函數解析式判斷③；
由已知求出tan2x判斷④．

解答 解：①在△ABC中，若sin2A=sin2B，則2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，△ABC是等腰或直角三角形，故①錯誤；
②已知α是銳角，則$α+\frac{π}{4}∈$（$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$），又$cos（α+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$，∴sin（$α+\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$，
則$sinα=sin[（α+\frac{π}{4}）-\frac{π}{4}]=sin（α+\frac{π}{4}）cos\frac{π}{4}-cos（α+\frac{π}{4}）sin\frac{π}{4}$=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$，故②正確；
③將函數$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$圖象上的所有點向左平移$\frac{π}{12}$個單位，則得到的函數圖象的解析式為$y=sin[2（x+\frac{π}{12}）+\frac{π}{3}]=sin（2x+\frac{π}{2}）=cos2x$，關于y對稱，故③正確；
④由$sinx=-\frac{4}{5}$，$x∈（-\frac{π}{2}，0）$，的cosx=$\frac{3}{5}$，∴tanx=$-\frac{4}{3}$，則tan2x=$\frac{2tanx}{1-ta{n}^{2}x}=\frac{-\frac{8}{3}}{1-\frac{16}{9}}=\frac{24}{7}$，故④正確．
∴正確命題的序號是②③④．
故答案為：②③④．

點評 本題考查命題的真假判定與應用，考查了三角函數的圖象和性質，考查三角函數值的求法，是中檔題．