Question

1．直線y=a分別與曲線y=2x+5，y=x+lnx交于A，B兩點，則|AB|的最小值為（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 設A（x₁，a），B（x₂，a），則2x₁+5=x₂+lnx₂，表示出x₁，求出|AB|，利用導數求出|AB|的最小值．

解答 解：設A（x₁，a），B（x₂，a），則2x₁+5=x₂+lnx₂，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（x₂+lnx₂-5），
∴|AB|=x₂-x₁=x₂-$\frac{1}{2}$（x₂+lnx₂-5）=$\frac{1}{2}$（x₂-lnx₂+5），
令y=$\frac{1}{2}$（x-lnx）+$\frac{5}{2}$，則y′=$\frac{x-1}{2x}$，
∴函數在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
∴x=1時，函數的最小值為3，
∴|AB|的最小值為3，
故選：A

點評 本題考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確求導確定函數的單調性是關鍵．