Question

9．已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-1，等差數列{b_n}滿足b₁=1，b₄=S₈．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用S_n=2a_n-1，再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數列，從而可求數列{a_n}的通項公式，利用等差數列{b_n}滿足b₁=1，b₄=S₈求出數列的首項與公差，即可求數列{b_n}的通項公式．
（2）先化簡c_n，再根據裂項求和即可求出答案．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-1，
∴n≥2時，S_n-1=2a_n-1-1，
∴兩式相減可得，a_n=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
n=1時，a₁=2a₁-1，∴a₁=1，
∴數列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數列，
∴a_n=2^n-1；
設{b_n}的公差為d，b₁=a₁=1，b₄=1+3d，
又b₄=S₂=7，∴d=2．
∴${b_n}=1+（n-1）×2=2n-1（n∈{N^*}）$．
（2）${c_n}=\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}（n∈{N^*}）$．

點評 本題考查數列遞推式，考查等比數列的判定與通項，裂項求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．