Question

16．已知函數$f（x）=\frac{x}{1+x}$．
（1）求f（2）與$f（\frac{1}{2}）$，f（3）與$f（\frac{1}{3}）$的值．
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）+$f（{\frac{1}{2}}）+f（{\frac{1}{3}}）+…+f（{\frac{1}{2012}}）$．
（3）由（1）中求得的結果，你能發現f（x）與$f（\frac{1}{x}）$有什么關系？并證明你的發現．

Answer 1

分析 （1）利用函數的解析式求解函數值即可．
（2）求出$f（\frac{1}{x}）$，得到f（x）+$f（\frac{1}{x}）$的值，然后求和即可．
（3）利用（1）與（2），證明即可．

解答 解：（1）函數$f（x）=\frac{x}{1+x}$．
則f（2）=$\frac{2}{3}$，
$f（\frac{1}{2}）$=$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
f（3）=$\frac{3}{4}$，
$f（\frac{1}{3}）$=$\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4}$．
（2）函數$f（x）=\frac{x}{1+x}$．f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$=$\frac{1}{1+x}$，
可得：f（x）+$f（\frac{1}{x}）$=1．
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）+$f（{\frac{1}{2}}）+f（{\frac{1}{3}}）+…+f（{\frac{1}{2012}}）$=f（1）+[f（2）+f（$\frac{1}{2}$）]+[f（3）+f（$\frac{1}{3}$）]+…+[f（2 012）+f（$\frac{1}{2012}$）]=$\frac{1}{2}+$2011=$\frac{4023}{2}$．
（3）由（1）中求得的結果，發現f（x）與$f（\frac{1}{x}）$的和為1．
證明：$f（x）=\frac{x}{1+x}$．f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$=$\frac{1}{1+x}$，
可得：f（x）+$f（\frac{1}{x}）$=1．

點評 本題考查函數與方程的綜合應用，函數值的求法，考查分析問題解決問題的能力．