Question

15．已知f（x）是R上的奇函數(shù)，f（1）=1，且對任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，則f（2016）+f（2017）=1．

Answer 1

分析 求出f（2）=0，可得f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，即可得出結(jié)論．：

解答 解：∵f（x+4）=f（x）+f（2）中，
∴令x=-2，得f（2）=f（-2）+f（2），即f（-2）=0．
又f（x）是R上的奇函數(shù)，故f（-2）=-f（2）=0．f（0）=0，
∴f（2）=0，
故f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
從而f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=1．
f（2016）=f（4×504）=f（0）=0．
故f（2016）+f（2017）=0+1=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算以及奇函數(shù)、周期函數(shù)的應(yīng)用，確定f（x）是以4為周期的周期函數(shù)是關(guān)鍵．