Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-alnx（a＞0）在[1，2]上為單調函數(shù)，則a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，1）∪（4，+∞）
• C． （0，1）∪（4，+∞）
• D． （0，1]∪[4，+∞）

Answer 1

分析 求函數(shù)的定義域和導數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系即可得到結論．

解答 解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），函數(shù)的導數(shù)為g′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$
要使函數(shù)g（x）在[1，2]上為單調函數(shù)，
若函數(shù)g（x）為增函數(shù)，則g′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$≥0恒成立，即a≤x²，
∵x∈[1，2]，∴1≤x²≤4，此時a≤1，又a＞0，可得a∈（0，1]
若函數(shù)g（x）為減函數(shù)，則g′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$≤0恒成立，即a≥x²，
∵x∈[1，2]，∴1≤x²≤4，此時a≥4，
故a∈（0，1]∪[4，+∞）
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)單調性的應用，利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵．