Question

14．偶函數定義在R上，當x＞0時，f（x）＜xf′（x），且 f（1）=0，則不等式xf（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用g（x）的單調性和奇偶性解不等式．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
當x＞0時，f（x）＜xf′（x），
故x＞0時，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，
而函數是偶函數，故g（x）在（-∞，0）遞減，
∴x＞0時，不等式xf（x）＞0，即f（x）＞0=f（1），
解得：x＞1，
x＜0時，不等式xf（x）＞0，即f（x）＜0=f（-1），
解得：-1＜x＜0，
故不等式的解集是（-1，0）∪（1，+∞），
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）．

點評 本題主要考查函數的單調性與奇偶性的應用，利用條件構造函數，然后利用導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵．