Question

9．已知函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），圖象關于y軸對稱，且當x＜0時，f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，設a＞1，則實數P=$\frac{{4af（{a+1}）}}{a+1}$，M=2$\sqrt{a}f（{2\sqrt{a}}）$，$N=（{a+1}）f（{\frac{4a}{a+1}}）$的大小關系為（　�。�

• A． P＜M＜N
• B． P＞M＞N
• C． M＜P＜N
• D． M＞P＞N

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0），依題意，可知g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0）為奇函數，且在區間（0，+∞）上單調遞減；而P=4a•g（a+1），M=4a•g（2$\sqrt{a}$），N=4a•g（$\frac{4a}{a+1}$），再由a+1＞2$\sqrt{a}$＞$\frac{4a}{a+1}$＞0，即可求得答案．

解答 解：∵x＜0時，f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，
∴x＜0時，xf′（x）-f（x）＜0恒成立①，
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0），
又函數f（x）為定義域上的偶函數（圖象關于y軸對稱），y=x為奇函數，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0）為奇函數；
又g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
由①知，當x＜0時，g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0）在區間（-∞，0）上單調遞減，
∴奇函數g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0）在區間（0，+∞）上單調遞減；
又當a＞1時，P=$\frac{{4af（{a+1}）}}{a+1}$=4a•$\frac{f（a+1）}{a+1}$=4a•g（a+1），
M=2$\sqrt{a}f（{2\sqrt{a}}）$=4a•$\frac{f（2\sqrt{a}）}{2\sqrt{a}}$=4a•g（2$\sqrt{a}$），
$N=（{a+1}）f（{\frac{4a}{a+1}}）$=4a•$\frac{f（\frac{4a}{a+1}）}{\frac{4a}{a+1}}$=4a•g（$\frac{4a}{a+1}$），
∵a＞1，∴a+1＞2$\sqrt{a}$，
∴$\frac{2\sqrt{a}}{a+1}$＜1，
∴$\frac{4a}{a+1}$＜2$\sqrt{a}$，
即a+1＞2$\sqrt{a}$＞$\frac{4a}{a+1}$＞0，
∴g（a+1）＜g（2$\sqrt{a}$）＜g（$\frac{4a}{a+1}$），
∴4ag（a+1）＜4ag（2$\sqrt{a}$）＜4ag（$\frac{4a}{a+1}$），即P＜M＜N．
故選：A．

點評 本題考查函數恒成立問題，令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0），觀察得到P=4a•g（a+1），M=4a•g（2$\sqrt{a}$），N=4a•g（$\frac{4a}{a+1}$）是關鍵，也是難點，考查構造函數思想與等價轉化思想，屬于難題．