Question

18．若復數z₁=a+2i（a∈R），z₂=3-4i，且$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$為純虛數，則|z₁|=$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 由復數z₁=a+2i（a∈R），z₂=3-4i，則$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=$\frac{a+2i}{3-4i}$，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡，再根據已知條件列出方程組，求解可得a的值，代入z₁，再由復數求模公式計算得答案．

解答 解：由復數z₁=a+2i（a∈R），z₂=3-4i，
則$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=$\frac{a+2i}{3-4i}$=$\frac{（a+2i）（3+4i）}{（3-4i）（3+4i）}=\frac{（3a-8）+（4a+6）i}{25}$=$\frac{3a-8}{25}+\frac{4a+6}{25}i$，
∵$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$為純虛數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3a-8}{25}=0}\\{\frac{4a+6}{25}≠0}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{8}{3}$．
則z₁=a+2i=$\frac{8}{3}+2i$，
∴|z₁|=$\sqrt{（\frac{8}{3}）^{2}+{2}^{2}}=\frac{10}{3}$．
故答案為：$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數模的求法，是基礎題．