Question

4．若函數f（x）=a²x³+ax²-x在[1，3]上不單調，則a的取值范圍為（　　）

• A． $（\frac{1}{9}，\frac{1}{3}）$
• B． $（-1，-\frac{1}{3}）$
• C． $（-1，-\frac{1}{3}）∪（\frac{1}{9}，\frac{1}{3}）$
• D． $[{-1，-\frac{1}{3}}]∪[{\frac{1}{9}，\frac{1}{3}}]$

Answer 1

分析 求出函數的導數，由題意得函數的導數在[1，3]上至少有一個零點，不能有兩個相等的零點，即可求出實數a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=a²x³+ax²-x
∴f′（x）=3a²x²+2ax-1，
∵若函數f（x）=a²x³+ax²-x在[1，3]上不是單調函數，
∴f′（x）=3a²x²+2ax-1=0在[1，3]上有兩個不等的根，或者在[1，3]上由一個根，但是不是重根．
即△=4a²+12a²＞0，恒成立．f′（1）f′（3）＜0，可得：（3a²+2a-1）（27a²+6a-1）＜0
可得：$\left\{\begin{array}{l}{{3a}^{2}+2a-1＞0}\\{27{a}^{2}+6a-1＜0}\end{array}\right.$，解得a∈∅；或$\left\{\begin{array}{l}{3{a}^{2}+2a-1＜0}\\{27{a}^{2}+6a-1＞0}\end{array}\right.$，
解得a∈$（-1，-\frac{1}{3}）∪（\frac{1}{9}，\frac{1}{3}）$．
故選：C．

點評 本題考查了利用導數研究三次多項式函數的單調性，從而求參數a的取值范圍，屬于中檔題，解題時應該注意導函數等于0的等根的情形，以免出現只一個零點的誤解．