Question

17．若不存在實數x使不等式|x-1|+|x-3|≤a²-2a-1成立，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． a＜-1或a＞3
• B． -1＜a＜3
• C． -1≤a≤3
• D． a≤-1或a≥3

Answer 1

分析 不存在實數x使不等式|x-1|+|x-3|≤a²-2a-1成立??x∈R，使不等式|x-1|+|x-3|＞a²-2a-1恒成立，再構造函數f（x）=|x-1|+|x-3|，求得f（x）_min，依題意得：a²-2a-1＜f（x）_min，解之即可得到答案．

解答 解：不存在實數x使不等式|x-1|+|x-3|≤a²-2a-1成立??x∈R，使不等式|x-1|+|x-3|＞a²-2a-1恒成立，
構造函數f（x）=|x-1|+|x-3|，則a²-2a-1＜f（x）_min．
因為：|x-1|+|x-3|≥|（x-1）-（x-3）|=2，
所以，f（x）_min=2，
所以，a²-2a-1＜2，
解得：-1＜a＜3．
故選：B．

點評 本題考查函數恒成立問題，深刻理解題意，將“不存在實數x使不等式|x-1|+|x-3|≤a²-2a-1成立”等價轉化為“?x∈R，使不等式|x-1|+|x-3|＞a²-2a-1恒成立”是關鍵，考查構造法與絕對值不等式的應用，屬于中檔題，易錯題．