Question

7．若直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）平分圓x²+y²+2x-4y+1=0，則$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值為9．

Answer 1

分析 利用直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）始終平分圓x²+y²+2x-4y+1=0的圓周，可得圓的圓心（-1，2）在直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上，再利用“1”的代換，結合基本不等式，即可求出$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值．

解答 解：由題意，圓的圓心（-1，2）在直線2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上
∴-2a-2b+2=0（a＞0，b＞0）
∴a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=9．
當且僅當$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$，即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$時，$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值為9．
故答案為：9．

點評 本題考查圓的對稱性，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．