Question

6．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的極坐標方程是ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求曲線C的參數方程；
（Ⅱ）若點$A（{ρ_1}，\frac{π}{6}）$與$B（{ρ_2}，\frac{π}{3}）$在曲線C上，求△OAB的面積與|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C的極坐標方程，化為直角坐標方程，由此能求出曲線C的參數方程．
（Ⅱ）由已知能求出$|OA|={ρ_1}=4sin\frac{π}{6}=2$，$|OB|={ρ_2}=4sin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}$，且$∠AOB=\frac{π}{6}$，由此能求出結果．

解答 （本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρ²=4ρsinθ
化為直角坐標方程，得x²+y²-4y=0，
即x²+（y-2）²=4…（2分）
所以曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}\right.$（α為參數）…（4分）
（Ⅱ）由已知，得$|OA|={ρ_1}=4sin\frac{π}{6}=2$，
$|OB|={ρ_2}=4sin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}$…（6分）
且$∠AOB=\frac{π}{6}$，
∴△OAB的面積$S=\frac{1}{2}{ρ_1}{ρ_2}sin\frac{π}{6}=\sqrt{3}$…（8分）
$|AB|=\sqrt{ρ_1^2+ρ_2^2-2{ρ_1}{ρ_2}cos\frac{π}{6}}=2$…（10分）

點評 本題考查曲線的參數方程的求法，考查三角形的面積和線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標和直角坐標互化公式的合理運用．