Question

15．已知函數f（x）=sinx-$\frac{2}{π}$x，x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（ I）求證：f（x）≥0；
（ II）若m＜$\frac{sinx}{x}$＜n對一切x∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，求m和n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導函數，利用導函數判斷原函數的單調性，根據單調性判斷函數的最小值；
（2）根據（1）結論，把恒成立問題轉化為最值問題，構造函數h（x）=sinx-nx，根據導函數分類討論即可．

解答 解：（1）證明：f（x）=sinx-$\frac{2}{π}$x，x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
f'（x）=cosx-$\frac{2}{x}$，令f'（x）=0，得x=x₀，
當在（0，x₀）時，f'（x）＞0，函數遞增；當在（x₀，$\frac{π}{2}$）時，f'（x）＜0，函數遞減，
∴在x=x₀處取得極大值，
取得極大值，
∵f（0）=f（$\frac{π}{2}$）=0，
所以f（x）≥0得證；
（2）由（1）得，$\frac{sinx}{x}$≥$\frac{2}{π}$，所以m≤$\frac{2}{π}$，
設h（x）=sinx-nx，則h'（x）=cosx-n，
①n≥1時，h'（x）≤0，h（x）單調遞減，且h（x）=0，所以h（x）≤0成立
②n≤0時，h'（x）≥0，h（x）單調遞增，與$\frac{sinx}{x}$＜n矛盾
③0＜n＜1時，與$\frac{sinx}{x}$＜n恒成立矛盾，
綜上，n≥1，m≤$\frac{2}{π}$．

點評 考查了導函數的應用和函數的構造，難點是（2）中的分類討論．