Question

4．某鎮政府為了更好地服務于農民，派調查組到某村考察．據了解，該村有100戶農民，且都從事蔬菜種植，平均每戶的年收入為3萬元．為了調整產業結構，該鎮政府決定動員部分農民從事蔬菜加工．據估計，若能動員 x （ x＞0）戶農民從事蔬菜加工，則剩下的繼續從事蔬菜種植的農民平均每戶的年收入有望提高2x%，而從事蔬菜加工的農民平均每戶的年收入將為3 （a-$\frac{3}{50}$x） （ a＞0）萬元．
（1）在動員 x 戶農民從事蔬菜加工后，要使從事蔬菜種植的農民的總年收入不低于動員前從事蔬菜種植的農民的總年收入，求 x 的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，要使這100戶農民中從事蔬菜加工的農民的總年收入始終不高于從事蔬菜種植的農民的總年收入，求 a 的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題中條件：“從事蔬菜種植的農民的年總收入不低于動員前從事蔬菜種植的年總收入”得到一個不等關系，列不等式得x的取值范圍；
（2）問題先轉化成一個不等關系，然后轉化為恒成立問題解決．

解答 解：（1）由題意得3（100-x）（1+2x%）≥3×100，
即x²-50x≤0，解得0≤x≤50，
又因為x＞0，所以0＜x≤50；（6分）
（2）從事蔬菜加工的農民的年總收入為3 （a-$\frac{3}{50}$x）x萬元，從事蔬菜種植農民的年總收入為3（100-x）（1+2x%）萬元，
根據題意得，3 （a-$\frac{3}{50}$x）x≤3（100-x）（1+2x%）恒成立，
又x＞0，所以a≤$\frac{100}{x}$+$\frac{x}{25}$+1恒成立，
而$\frac{100}{x}$+$\frac{x}{25}$+1≥5（當且僅當x=50時取得等號），
所以a的最大值為5．（16分）

點評 本題主要考查函數在實際生活中的應用、恒成立問題的解法．求不等式恒成立的參數的取值范圍，是經久不衰的話題，也是高考的熱點，它可以綜合地考查中學數學思想與方法，體現知識的交匯．