Question

20．已知函數f（x）=x²+ax在x=0與x=1處的切線互相垂直．
（1）若函數g（x）=f（x）+$\frac{b}{2}$lnx-bx在（0，+∞）上單調遞增，求a，b的值；
（2）設函數h（x）=$\left\{\begin{array}{l}lnx，x＞0\\ f（x+1），x≤0\end{array}$，若方程h（x）-kx=0有四個不相等的實數根，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，利用導函數大于0，分半求解a，b的值即可．
（2）畫出函數的圖象，求出曲線的斜率，然后推出結果．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2x+a，∴f′（0）f′（1）=-1，即a（a+2）=-1，a=-1．
g（x）=x²-x+$\frac{b}{2}$lnx-bx，g′（x）=2x-1+$\frac{b}{2x}$-b≥0在x＞0上恒成立，即（2x-1）（1-$\frac{b}{2x}$）≥0，
當x≥$\frac{1}{2}$時，b≤2x，即b≤1；當0＜x≤$\frac{1}{2}$時，b≥2x，即b≥1，故b=1．（6分）
（Ⅱ）由題意y=h（x）與y=kx有四個交點．如圖，

設直線y=kx與曲線y=lnx切于（x₀，lnx₀），則k=$\frac{1}{x_0}$，
∴lnx₀=$\frac{1}{x_0}$×x₀=1，$\frac{1}{x_0}$=$\frac{1}{e}$，由圖可知k∈（0，$\frac{1}{e}$）．（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的單調性以及函數的零點個數的判斷，是中檔題．