Question

5．已知定義在R上的奇函數y=f（x）滿足f′（x）＜2，則不等式f（x+1）-ln（x+2）-2＞e^x+1+3x的解集為（　　）

• A． （-2，-1）
• B． （-1，+∞）
• C． （-1，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 設g（x）=f（x+1）-ln（x+2）-2-e^x+1-3x，x＞-2，求導g′（x）=f′（x+1）-$\frac{1}{x+2}$-e^x+1-3，由f′（x）＜2，f′（x+1）-3＜0，由-$\frac{1}{x+2}$-e^x+1＜0恒成立，因此g′（x）＜0恒成立，則g（x）在（-2，+∞）單調遞減，根據函數的奇偶性可知f（0）=0，可得g（-1）=0，則原不等式可轉化成，g（x）=g（-1），由函數的單調性即可求得-2＜x＜-1．

解答 解：由題意可知：設g（x）=f（x+1）-ln（x+2）-2-e^x+1-3x，x＞-2，
求導g′（x）=f′（x+1）-$\frac{1}{x+2}$-e^x+1-3，
由f′（x）＜2，即f′（x）-2＜0，
f′（x+1）-3＜0，
由函數的單調性可知：-$\frac{1}{x+2}$-e^x+1＜0恒成立，
∴g′（x）＜0恒成立，
∴g（x）在（-2，+∞）單調遞減，
由y=f（x）為奇函數，則f（0）=0
∴g（-1）=f（0）-ln1-2-e⁰+3=0，
由f（x+1）-ln（x+2）-2＞e^x+1+3x，即g（x）＞0=g（-1），
由函數的單調遞減，
∴-2＜x＜-1，
∴不等式f（x+1）-ln（x+2）-2＞e^x+1+3x的解集（-2，-1），
故選A．

點評 本題考查函數的單調性與導數的關系，考查利用導數求函數的單調性，考查不等式的解集的求法，考查轉化思想，屬于中檔題．