Question

9．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點P（2，t）到焦點F的距離為3．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點F作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，設l₁與拋物線C交于A、B兩點，l₂與拋物線C交于D、E兩點，求|AF|•|FB|+|EF|•|FD|的最小值．

Answer 1

分析 （1）運用拋物線的定義可得2+$\frac{p}{2}$=3，解方程可得p，即可得到所求方程；
（2）可得F（1，0），直線AB，ED的斜率存在且不為0，可設直線AB的方程為x=ty+1，代入拋物線的方程，運用韋達定理和拋物線的定義，化簡可得|AF|•|FB|=4（t²+1），同理可將t換為$\frac{1}{t}$，可得|EF|•|FD|=4（$\frac{1}{{t}^{2}}$+1），再由基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：（1）拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為（$\frac{p}{2}$，0），
準線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義可得P（2，t）到焦點F的距離為3，
即為P到準線的距離為2+$\frac{p}{2}$=3，解得p=2，
即有拋物線的方程為y²=4x；
（2）可得F（1，0），直線AB，ED的斜率存在且不為0，
可設直線AB的方程為x=ty+1，
代入拋物線的方程可得y²-4ty-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，
則|AF|•|FB|=（x₁+1）（x₂+1）=（ty₁+2）（ty₂+2）
=t²y₁y₂+2t（y₁+y₂）+4=-4t²+8t²+4=4（t²+1），
同理可將t換為$\frac{1}{t}$，可得|EF|•|FD|=4（$\frac{1}{{t}^{2}}$+1），
即有|AF|•|FB|+|EF|•|FD|=4（t²+$\frac{1}{{t}^{2}}$+2）≥4（2$\sqrt{{t}^{2}•\frac{1}{{t}^{2}}}$+2）=16，
當且僅當t²=$\frac{1}{{t}^{2}}$，即t=±1時，取得等號．
則|AF|•|FB|+|EF|•|FD|的最小值為16．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質，考查直線方程和拋物線的方程聯立，運用韋達定理，以及基本不等式求最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．