Question

11．已知直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數），以坐標原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為：ρsin²θ=4acosθ（a＞0）．
（1）求直線1的普通方程及曲線C的普通方程；
（2）若直線l與曲線C相交于M，N兩點，且|MN|=8$\sqrt{5}$，求實數a的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數方程消去參數t，能求出直線l的普通方程，曲線C的極坐標方程轉化為ρ²sin²θ=4aρcosθ（a＞0），由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線C的普通方程．
（2）把直線l的參數方程代入曲線C：y²=4ax．（a＞0），得：$\frac{1}{4}{t}^{2}+（\sqrt{3}+2\sqrt{3}a）t+（3+4a）=0$，由此利用韋達定理、弦長公式能求出結果．

解答 解：（1）∵直線l的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數），
∴消去參數t，得到直線l的普通方程為x+$\sqrt{3}y$-2=0．
∵曲線C的極坐標方程為：ρsin²θ=4acosθ（a＞0），
∴ρ²sin²θ=4aρcosθ（a＞0），
由ρcosθ=x，ρsinθ=y，
得曲線C的普通方程為y²=4ax．（a＞0）．
（2）把直線l的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數）代入曲線C：y²=4ax．（a＞0），
整理，得：$\frac{1}{4}{t}^{2}+（\sqrt{3}+2\sqrt{3}a）t+（3+4a）=0$，
設方程的兩個根為t₁，t₂，則${t}_{1}+{t}_{2}=-4（\sqrt{3}+2\sqrt{3}a）$，t₁t₂=4（3+4a），
∵直線l與曲線C相交于M，N兩點，且|MN|=8$\sqrt{5}$，
∴|MN|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{[-4（\sqrt{3}+2\sqrt{3}a）]^{2}-16（3+4a）}$=8$\sqrt{5}$，
由a＞0，解得a=1．

點評 本題考查直線和曲線的普通方程的求法，考查實數值的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數的互化、韋達定理、弦長公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．