Question

3．以直角坐標系xOy的坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t為參數），圓C的極坐標方程為ρ=2cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求圓C的直角坐標；
（2）試判斷直線l與圓C的位置關系．

Answer 1

分析 （1）圓C的極坐標方程轉化為${ρ}^{2}=\sqrt{2}ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ$，從而求出圓C的直角坐標方程（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1，由此能求出圓心C的直角坐標．
（2）直線l的參數方程消去參數t，得直線l的普通方程為x-y+4$\sqrt{2}$=0，圓C的半徑r=1，求出圓心C（$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直線l的距離d=5＞r=1，由此得到直線l與圓C相離．

解答 解：（1）∵圓C的極坐標方程為ρ=2cos（θ+$\frac{π}{4}$），
∴$ρ=\sqrt{2}cosθ-\sqrt{2}sinθ$，∴${ρ}^{2}=\sqrt{2}ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ$，
∴圓C的直角坐標方程為${x}^{2}+{y}^{2}-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y$=0，即（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=1，
∴圓心C的直角坐標為（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
（2）∵直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t為參數），
∴直線l消去參數t，得直線l的普通方程為x-y+4$\sqrt{2}$=0，
圓C的半徑r=1，圓心C（$\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$）到直線l的距離：d=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+4\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=5＞r=1，
∴直線l與圓C相離．

點評 本題考查圓心的直角坐標的求法，考查直線與圓的位置關系的判斷，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．