Question

18．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}sinφ}\\{y=cosφ}\end{array}}\right.$（φ為參數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C₂的極坐標方程為$\sqrt{2}ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）=1$．
（1）求曲線C₁的普通方程與曲線C₂的直角坐標方程；
（2）曲線C₁與C₂相交于P、Q兩點，求過P、Q兩點且面積最小的圓的標準方程．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數方程消去參數φ，能求出曲線C₁的普通方程；曲線C₂的極坐標方程轉化為ρsinθ-ρcosθ=1，由此能求出曲線C₂的直角坐標方程．
（2）過P、Q兩點且面積最小的圓是以線段PQ為直徑的圓，由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{3}+{y^2}=1}\\{y=x+1}\end{array}}\right.$，得2x²+3x=0，由此利用中點坐標公式求出圓心坐標，利用弦長公式求出半徑，由此能求出過P、Q兩點且面積最小的圓的標準方程．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}sinφ}\\{y=cosφ}\end{array}}\right.$（φ為參數），
∴由$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}sinφ}\\{y=cosφ}\end{array}}\right.$消去參數φ，得曲線C₁的普通方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，
∵曲線C₂的極坐標方程為$\sqrt{2}ρsin（{θ-\frac{π}{4}}）=1$，
∴ρsinθ-ρcosθ=1，即y-x=1，即y=x+1．
∴曲線C₂的直角坐標方程為y=x+1．
（2）過P、Q兩點且面積最小的圓是以線段PQ為直徑的圓，令P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{3}+{y^2}=1}\\{y=x+1}\end{array}}\right.$，得2x²+3x=0，
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{3}{2}，{y_1}+{y_2}={x_1}+{x_2}+2=\frac{1}{2}$，∴圓心坐標為$（{-\frac{3}{4}，\frac{1}{4}}）$，
又∵半徑$r=\frac{1}{2}|{PQ}|=\frac{1}{2}\sqrt{（{1+{k^2}}）[{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，
∴過P、Q兩點且面積最小的圓的標準方程為${（{x+\frac{3}{4}}）^2}+{（{y-\frac{1}{4}}）^2}=\frac{9}{8}$．

點評 本題考查曲線的普通方程、直角坐標方程的求法，考查圓的標準方程的法，考查中位坐標公式、弦長公式、直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．