Question

8．若曲線C₁：x²+y²-2x=0與曲線C₂：mx²-xy+mx=0有三個不同的公共點，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
• B． （-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，+∞）
• D． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）

Answer 1

分析 根據題意，分析可得曲線C₂表示兩條直線：x=0，y=m（x+1），曲線C₁為圓心（1，0），半徑為1的圓；分m=0與m≠0兩種情況，結合直線與圓的位置關系進行討論，求出m的取值范圍，綜合即可得答案．

解答 解：根據題意，曲線C₂：mx²-xy+mx=0，即x（mx-y+m）=0，
則曲線C₂表示兩條直線：x=0，y=m（x+1），
曲線C₁：x²+y²-2x=0，即（x-1）²+y²=1，為圓心（1，0），半徑為1的圓；
當m=0時，曲線C₂表示兩條直線：x=0與y=0，與曲線C₁：只有2個交點，不符合題意，
當m≠0時，
直線x=0與曲線C₁只有一個交點，
則直線y=m（x+1）與曲線C₁：x²+y²-2x=0有2個交點，即直線y=m（x+1）與圓（x-1）²+y²=1相交，
則有$\frac{|2m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$＜1，
解可得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜m＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且m≠0；
綜合可得：m的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
故選：D．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，注意分析曲線C₂：mx²-xy+mx=0的形式．