Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin（πx+$\frac{π}{4}$）和函數(shù)g（x）=cos（πx+$\frac{π}{4}$）在區(qū)間[-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$]上的圖象交于A，B，C三點，則△ABC的面積是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{5\sqrt{2}}{4}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，求得A、B、C三點的坐標，即可求得△ABC的面積．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（πx+$\frac{π}{4}$）和函數(shù)g（x）=cos（πx+$\frac{π}{4}$）在區(qū)間[-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$]上的圖象交于A，B，C三點，
令sin（πx+$\frac{π}{4}$）=cos（πx+$\frac{π}{4}$），可得π•x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{4}$，或 π•x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{5π}{4}$，k∈Z．
再結(jié)合x∈[-$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$]，解得x=-2，-1，0，
可得A（-2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）、B（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）、C（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），∴△ABC的面積是$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
故選：D．

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．