Question

17．在直角坐標系中xOy中，已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosα\\ y=1+\sqrt{2}sinα\end{array}\right.（α$為參數），以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂：ρ=$\frac{a}{{cos（θ-\frac{π}{4}）}}$，若射線θ=ϕ，θ=ϕ+$\frac{π}{4}$，θ=Φ-$\frac{π}{4}$，θ=Φ+$\frac{π}{2}$與曲線C₁分別交于（異于極點O）的四點A，B，C，D
（1）若曲線C₁關于曲線C₂對稱，求a的值，并求曲線C₁的極坐標方程；
（2）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

Answer 1

分析 （1）把曲線C₁化為普通方程，再把C₂化為直角坐標方程，由于曲線C₁關于曲線C₂對稱，可得曲線C₂經過曲線C₁的圓心，即可求出a的值，進一步把曲線C₁的直角坐標方程化為極坐標方程；
（2）把θ=ϕ，θ=ϕ+$\frac{π}{4}$，θ=Φ-$\frac{π}{4}$，θ=Φ+$\frac{π}{2}$代入$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，化簡計算即可求出|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

解答 解：（1）曲線${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosα\\ y=1+\sqrt{2}sinα\end{array}\right.（α$為參數）化為普通方程為（x-1）²+（y-1）²=2，
∵${C_2}：ρ=\frac{a}{{cos（θ-\frac{π}{4}）}}$
∴$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=a$，即$ρcosθ+ρsinθ=\sqrt{2}a$，
把C₂化為直角坐標方程為$x+y=\sqrt{2}a$，
∵曲線C₁關于曲線C₂對稱，∴曲線C₂經過曲線C₁的圓心．
∴$a=\sqrt{2}$．
又∵x²+y²-2x-2y=0
∴ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ=0，
即$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$．
（2）$|OA|=2\sqrt{2}sin（$ϕ$+\frac{π}{4}）$，$|OB|=2\sqrt{2}sin$（ϕ+$\frac{π}{2}$）=$2\sqrt{2}cos$ϕ，
$|OC|=2\sqrt{2}sin$ϕ，$|OD|=2\sqrt{2}sin（$ϕ$+\frac{3π}{4}）$=$2\sqrt{2}cos（$ϕ+$\frac{π}{4}）$，
∴$|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin（ϕ+\frac{π}{4}）sinϕ+8cos（ϕ+\frac{π}{4}）cosϕ$=$8cos\frac{π}{4}=4\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線的極坐標方程、曲線的直角坐標方程的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化，是中檔題．