Question

19．已知函數f（x）=x³-3x²-9x+1（x∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區間．
（2）若f（x）-2a+1≥0對?x∈[-2，4]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）根據函數的單調性求出端點值和極值，從而求出f（x）的最小值，得到關于a的不等式，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6x-9，
令f′（x）＞0，解得：x＜-1或x＞3，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
故函數f（x）的單調增區間為（-∞，-1），（3，+∞），單調減區間為（-1，3）；
（2）由（1）知f（x）在[-2，-1]上單調遞增，在[-1，3]上單調遞減，在[3，4]上單調遞增，
又f（-2）=-1，f（3）=-26，f（3）＜f（-2），
∴f（x）_min=-26，
∵f（x）-2a+1≥0對?x∈[-2，4]恒成立，
∴f（x）_min≥2a-1，即2a-1≤-26，
∴a≤-$\frac{25}{2}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．