Question

8．已知函數y=sin²x+sin2x+3cos²x，求
（1）函數的最小正周期
（2）當$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$時，求函數的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性，求得函數的最小正周期．
（2）利用正弦函數的定義域和值域，求得當$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$時，函數的值域．

解答 解：（1）∵函數y=sin²x+sin2x+3cos²x=1+sin2x+2cos²x-1+1=2+sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2，
∴函數的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）當$x∈[-\frac{π}{6}，\frac{π}{2}]$時，2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{4}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，∴y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2∈[1，$\sqrt{2}$+2]，
即函數的值域為[1，$\sqrt{2}$+2]．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性、定義域和值域，屬于中檔題．