Question

17．已知函數$f（x）=lg\frac{x+1}{2x-a}+lga$（a是實常數）
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性與實數a的關系．

Answer 1

分析 （1）根據題意，由函數的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{2x-a}＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解可得x的取值范圍，即可得答案；
（2）由函數的解析式可得f（-x），結合a的取值分析f（x）與f（-x）的關系，即可得答案．

解答 解：（1）函數$f（x）=lg\frac{x+1}{2x-a}+lga$，
有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+1}{2x-a}＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，解可得x＜-1或x＞$\frac{a}{2}$，
故函數f（x）的定義域為（-∞，-1）∪（$\frac{a}{2}$，+∞）；
（2）函數$f（x）=lg\frac{x+1}{2x-a}+lga$，則f（-x）=lg$\frac{-x+1}{-2x-a}$+lga，
分析可得：a=2時，有f（-x）=-f（x），故函數f（x）為奇函數；
當a≠2時，f（-x）與-f（x）沒有關系，函數f（x）為非奇非偶函數．

點評 本題考查函數的奇偶性的性質以及函數的定義域的求法，注意對數函數的定義域．