Question

12．現有10道題，期中6道難題，4道簡單題，張同學從中任選3道題解答．已知所取3道題中有2道難題，1道簡單題．設張同學答對每道難題的概率都是$\frac{2}{5}$，答對每道簡單題的概率都是$\frac{4}{5}$，且各題答對與否相互獨立，用X表示張同學答對題的個數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 根據題意知X的所有可能取值，計算對應的概率值，寫出隨機變量X的分布列，再計算數學期望值．

解答 解：根據題意，X的所有可能取值0、1、2、3，
則$P（x=0）=C_2^0{（\frac{2}{5}）^0}{（\frac{3}{5}）^2}\frac{1}{5}=\frac{9}{125}$，
$P（x=1）=C_2^1{（\frac{2}{5}）^1}{（\frac{3}{5}）^1}\frac{1}{5}+C_2^0{（\frac{2}{5}）^0}{（\frac{3}{5}）^2}\frac{4}{5}=\frac{48}{125}$，
$P（x=2）=C_2^2{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^0}\frac{1}{5}+C_2^1{（\frac{2}{5}）^1}{（\frac{3}{5}）^1}\frac{4}{5}=\frac{52}{125}$，
$P（x=3）=C_2^2{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^0}\frac{4}{5}=\frac{16}{125}$；
所以隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{9}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{52}{125}$	$\frac{16}{125}$

數學期望為E（X）=0×$\frac{9}{125}$+1×$\frac{48}{125}$+2×$\frac{52}{125}$+3×$\frac{16}{125}$=$\frac{8}{5}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望的計算問題，是基礎題．