Question

16．在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足b²=ac，cosB=$\frac{3}{4}$．
（1）求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$的值；
（2）設$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，求三邊a、b、c的長度．

Answer 1

分析 （1）運用同角的平方關系，可得sinB，再由正弦定理，可得sin²B=sinAsinC，再由切化弦和兩角和的正弦公式，化簡即可得到所求值；
（2）由向量的數量積的定義可得ac=2，再由余弦定理可得a+c=3，即可得到所求三邊的長度．

解答 解：（1）由cosB=$\frac{3}{4}$可得，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
∵b²=ac，∴根據正弦定理可得sin²B=sinAsinC．
又∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=π，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosC}{sinC}$
=$\frac{cosAsinC+cosCsinA}{sinAsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{si{n}^{2}B}$
=$\frac{sinB}{si{n}^{2}B}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．
（2）由$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$得：|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cosB=cacosB=$\frac{3}{2}$，
又∵cosB=$\frac{3}{4}$，∴b²=ca=2，
又由余弦定理b²=a²+c²-2accosB=2．
得（a+c）²-2ac-$\frac{3}{2}$ac=2，
解得a+c=3，
又∵b²=ca=2，∴b=$\sqrt{2}$．
∴三邊a，b，c的長度分別為1，$\sqrt{2}$，2或2，$\sqrt{2}$，1．

點評 本題考查正弦定理和余弦定理的運用，考查向量數量積的定義，以及三角函數的恒等變換，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．