Question

16．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD=8，AD=4，AB=2DC=4$\sqrt{5}$．
（1）設M是PC上的一點，求證：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理逆定理可得AD⊥BD，根據面面垂直的性質得出BD⊥平面PAD，故而平面BDM⊥平面PAD；
（2）過P作PO⊥AD，則PO⊥平面ABCD，求出梯形ABCD的高和棱錐的高PO，代入棱錐的體積公式計算即可．

解答 （1）證明：在△ABD中，∵AD=4，AB=4$\sqrt{5}$，BD=8，
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD．
又∵面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥面PAD，
又BD?面BDM，
∴面MBD⊥面PAD．
（2）解：過P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PO?平面PAD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO為四棱錐P-ABCD的高．
又△PAD是邊長為4的等邊三角形，
∴PO=2$\sqrt{3}$．
過D作DN⊥AB，則DN=$\frac{AD•BD}{AB}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{5}$+4$\sqrt{5}$）×$\frac{8\sqrt{5}}{5}$=24，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}×24×2\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．