Question

12．已知函數f（x）=（x²-3）e^x，設關于x的方程f²（x）-af（x）=0有3個不同的實數根，則a的取值范圍為a＞$\frac{6}{{e}^{3}}$或a=-2e．

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調性，計算f（x）的極值，作出f（x）的圖象，根據f（x）=0的根的個數判斷f（x）=a的根的個數，從而得出a的范圍．

解答 解：f′（x）=2x•e^x+（x²-3）e^x=e^x（x²+2x-3），
令f′（x）=0得x=1或x=-3，
∴當x＜-3或x＞1時，f′（x）＞0，當-3＜x＜1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-3）上單調遞增，在（-3，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
∴當x=-3時，f（x）取得極大值$\frac{6}{{e}^{3}}$，當x=1時，f（x）取得極小值-2e，
作出f（x）的函數圖形如圖所示：

由f²（x）-af（x）=0得f（x）=0或f（x）=a，
由圖象可知f（x）=0有兩解，∴f（x）=a只有一解，
∴a＞$\frac{6}{{e}^{3}}$或a=-2e．
故答案為：a＞$\frac{6}{{e}^{3}}$或a=-2e．

點評 本題考查了方程根與函數圖形的關系，函數單調性的判定與極值計算，屬于中檔題．